理工学部Faculty of Science and Engineering
MAT300XF（数学 / Mathematics 300）複雑系解析Complexity Analysis
礒島 伸、五島 洋行Shin ISOJIMA, Hiroyuki GOTO
授業コードなどClass code etc
| 学部・研究科Faculty/Graduate school | 理工学部Faculty of Science and Engineering |
| 添付ファイル名Attached documents | |
| 年度Year | 2024 |
| 授業コードClass code | H6543 |
| 旧授業コードPrevious Class code | |
| 旧科目名Previous Class title | |
| 開講時期Term | 春学期授業/Spring |
| 曜日・時限Day/Period | 木曜3時限木3/Thu.3 |
| 科目種別Class Type | |
| キャンパスCampus | 小金井 |
| 教室名称Classroom name | 小西館‐W203 |
| 配当年次Grade | 3年 |
| 単位数Credit(s) | |
| 備考（履修条件等）Notes | |
| 他学部公開科目Open Program | |
| 他学部公開（履修条件等）Open Program (Notes) | |
| グローバル・オープン科目Global Open Program | |
| 成績優秀者の他学部科目履修制度対象Interdepartmental class taking system for Academic Achievers | |
| 成績優秀者の他学部科目履修（履修条件等）Interdepartmental class taking system for Academic Achievers (Notes) | |
| 実務経験のある教員による授業科目Class taught by instructors with practical experience | |
| SDGsCPSDGs CP | |
| アーバンデザインCPUrban Design CP | |
| ダイバーシティCPDiversity CP | |
| 未来教室CPLearning for the Future CP | |
| カーボンニュートラルCPCarbon Neutral CP | |
| 千代田コンソ単位互換提供（他大学向け）Chiyoda Campus Consortium | |
| カテゴリー＜理工学部＞Category |
経営システム工学科 学科専門科目 |
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Outline (in English)
[Course outline]
This class examines complex behaviors called "fractal" and "chaos", both of which are known as mathematical frameworks to analyze complex phenomena. These will be investigated in both theoretical and implementation aspects.
In the lecture classes, some topics about one-dimensional discrete dynamical systems are explained, in which chaotic phenomena can be observed easily. Self-similarity and fractal dimensions, which characterize fractal diagrams, are also explained.
In the practice classes, through numerical simulations of typical systems, implementation and solution techniques along with complex numbers and differential equations will be enhanced. Recursive calls and anonymous functions will be introduced and demonstrated as well.
[Learning objectives]
Upon completion, students should be able to:
1. understand how to analyze one-dimensional dynamical systems, in which chaos phenomena are observed.
2. understand the characteristic properties of fractals, ``self-similarity'' and ``fractal dimension.''
3. implement program codes to analyze and delineate fractal and chaotic behaviors.
4. implement programs along with recursive calls and anonymous functions.
[Learning activities outside of classroom]
1. Students should spend four hours for preparation and review.
2. An assignment will be given on completion of each topic.
[Grading criteria]
The assessment is based on:
Lecture part: brief reports: 30%, final report: 70%
Implementation part: class contribution: 30%, implementation: 70%
授業で使用する言語Default language used in class
日本語 / Japanese
授業の概要と目的（何を学ぶか）Outline and objectives
複雑な現象を数理的に解析する枠組みである「カオス」「フラクタル」について，理論・実装の両面から学ぶ．
理論面では，カオスと呼ばれる現象を引き起こす力学系のうち，主に一次元離散力学系について学ぶ．また，フラクタル図形の特徴である自己相似性と非整数次元を例と共に理解し，離散力学系を通して定義されるフラクタル図形を知る．
実装面では，代表的な系を計算機上でシミュレートし，複素数，微分方程式の解法などの数値計算技術の素養を強化し，併せて再帰呼び出し，無名関数などのプログラミング技術を修得する．
到達目標Goal
・カオスと呼ばれる現象を引き起こす力学系のうち，一次元離散力学系について理解している
・フラクタル図形の特徴である自己相似性と非整数次元を理解している
・カオス・フラクタル図形を描画するプログラムが実装できる
・再帰呼び出しや無名関数を用いた実装ができる
この授業を履修することで学部等のディプロマポリシーに示されたどの能力を習得することができるか（該当授業科目と学位授与方針に明示された学習成果との関連）Which item of the diploma policy will be obtained by taking this class?
ディプロマポリシーのうち、「DP1」と「DP2」と「DP4」に関連
授業で使用する言語Default language used in class
日本語 / Japanese
授業の進め方と方法Method(s)（学期の途中で変更になる場合には、別途提示します。 /If the Method(s) is changed, we will announce the details of any changes. ）
理論パート７週と，実装パート７週とで構成する．
理論パートでは，1次元離散力学系におけるカオス現象，フラクタル図形の定義と具体例などについて講義する．ほぼ毎回，小課題を出題し，大テーマ終了毎には提出課題を課す．
実装パートでは，数値解析環境MATLABを用いながらカオス・フラクタルに関連する図形を描画する．大テーマ終了毎に提出課題を課す．
アクティブラーニング（グループディスカッション、ディベート等）の実施Active learning in class (Group discussion, Debate.etc.)
なし / No
フィールドワーク（学外での実習等）の実施Fieldwork in class
なし / No
授業計画Schedule
授業形態/methods of teaching：対面/face to face
※各回の授業形態は予定です。教員の指示に従ってください。
1[対面/face to face]：微分／差分方程式（理論）
複雑系の導入
常微分方程式とその差分化
2[対面/face to face]：離散力学系の周期軌道（理論）
離散力学系とその不動点，周期軌道
安定性と吸引領域
3[対面/face to face]：離散力学系の様々な軌道（理論）
ロジスティック写像の族と軌道の性質，分岐図
リヤプノフ指数
4[対面/face to face]：カオス軌道（理論）
カオス軌道，旅程，共役写像
5[対面/face to face]：ロジスティック写像（実装）
ロジスティック写像の分岐図を描画する
6[対面/face to face]：ローレンツ・アトラクタ―（実装）（１）
無名関数について学び，ローレンツ・アトラクタ―を描画する
7[対面/face to face]：ローレンツ・アトラクタ―（実装）（２）
視覚的改良を施しローレンツ・アトラクタ―の描画を完成する
8[対面/face to face]：フラクタルの基礎（理論）
自己相似性とフラクタル次元，フラクタル図形の例
9[対面/face to face]：様々なフラクタル図形（理論）
複素数の復習とコッホ曲線
10[対面/face to face]：メンガースポンジ（実装）
再帰呼び出しを用いてメンガースポンジを描画する
11[対面/face to face]：コッホ曲線（実装）
複素数の座標計算を応用し，コッホ曲線を描画する
12[対面/face to face]：フラクタルと力学系（理論）
マンデルブロー集合，ジュリア集合
13[対面/face to face]：マンデルブロー集合（実装）
複素フラクタル図形としてのマンデルブロー集合を描画する
14[対面/face to face]：ジュリア集合（実装）
複素数フラクタル図形としてのジュリア集合を描画する
授業時間外の学習（準備学習・復習・宿題等）Work to be done outside of class (preparation, etc.)
・本授業の準備・復習等の授業時間外学習は、4時間を標準とする
・理論パートでは授業内容の理解を助けるための小課題が出題されるので，これに取り組む．
・理論パート，実装パートともに，大テーマ終了時に提出課題が課せられるので，指定された期限までに提出する．
テキスト（教科書）Textbooks
指定せず，教材を授業支援システム経由で配布する．
参考書References
アリグッド，サウアー，ヨーク 共著『カオス１ 力学系入門』（シュプリンガー・ジャパン）
山口昌哉 著『カオスとフラクタル』（ちくま学芸文庫）
成績評価の方法と基準Grading criteria
理論パート50%，実装パート50%の配分で，それぞれのパートは以下で評価する
理論パート：
提出課題 70% (35点)，小課題 30% (15点)
実装パート：
提出課題 70% (35点)，平常点 30% (15点)
学生の意見等からの気づきChanges following student comments
担当教員変更（追加）および内容リニューアルのため，2024年度は特になし．
学生が準備すべき機器他Equipment student needs to prepare
・理論パートの課題の出題および提出は学習支援システムを利用して行う．
・実装パートの週は貸与ノートPCを持参すること．
・MATLABが動作する環境を事前に整えておくこと．初めて使用する者は，ライセンス認証が必要である．
その他の重要事項Others
２年次秋学期科目「シミュレーション」を履修済であることが望ましい．未履修の者は事前に配布する教材を学習しておくことを強く推奨する．